Czy ktoś wie coś o rzeczywistych doświadczeniach, dla których nie istnieje
wartość oczekiwana EX ? Czy rozkłady dla których Całka(x*f(x)) nie istnieje
występują w przyrodzie czy tylko w teorii matematycznej tj. czy możliwe jest
aby uśrednianie wyników wielokrotnie wykonywanego doświadczenia nie dawało
sensownego rezultatu?
Chciałbym się dowiedzieć czegoś więcej na ten temat :)

Pozdrawiam
olejman

Czy ktoś wie coś o rzeczywistych doświadczeniach, dla których nie istnieje
wartość oczekiwana EX ?

Wartość oczekiwana jest zdefiniowana dla zmiennych losowych (jako ich całka
względem miary probabilistycznej), a nie dla "doświadczeń". Dla
"doświadczeń" możemy obliczyć co najwyżej średnią, a to nie jest to samo.

Czy rozkłady dla których Całka(x*f(x)) nie istnieje
występują w przyrodzie czy tylko w teorii matematycznej

Czy widziałeś kiedyś rozkład "występujący w przyrodzie"? W rzeczywistości
nie wiemy jakie rozkłady mają zmienne, możemy tylko zgadywać, na podstawie
danych empirycznych, lub pewnej teorii danego zjawiska.Bardzo często,
zakłada się, że jakieś zjawisko jest wypadkową wielu mniejszych zjawisk
losowych, niezależnych od siebie zjawisk, np. drgania całej maszyny są
wypadkową drgań jej poszczególnych części, wahania cen są wypadkową zachowań
wielu ludz). Wówczas z twierdzeń granicznych wnioskujemy, że zmienna
opisująca zjawisko powinna mieć jeden z rozkładów stabilnych (gdyż tylko
takie rozkłady mogą się pojawić jako sumy bardzo wielu niezależnych
zmiennych). Rozkładem stabilnym jest m.inn. rozkład normalny. Okazuje się,
że jest to jedyny rozkład całkowalny w klasie rozkładów stabilnych.
Czasami empiryczna analiza pokazuje, że zmienna nie może mieć rozkładu
normalnego (na podstawie badania, częstości zdarzeń ekstremalnych). Wówczas
zakłada się, że ma ona inny rozkład stabilny. Tak jest np. w analizie stóp
zwrotu papierów wartościowych (ponoć także w analizie turbulencji cieczy).

aby uśrednianie wyników wielokrotnie wykonywanego doświadczenia nie dawało
sensownego rezultatu?

Tutaj mówisz o wartości średniej, a nie o wartości oczekiwanej. Wartość
oczekiwana jest pojęciem teoretycznym. Istotnie, jeżeli masz kilka
obserwacji pewnej zmiennej to zawsze możesz policzyć średnią. Gdyby zmienna
była całkowalna, to stosując prawo wielkich liczb, mógłbyś wywnioskować, że
wartość średnia przybliża wartość oczekiwaną. Ale prawo wielkich liczb nie
obejmuje zmiennych niecałkowalnych. Średnia z próby nie przybliża w tym
wypadku wartości oczekiwanej (bo ta nie istnieje). Może przybliżać jakiś
inny parametr rozkładu - dominantę, medianę ...

Pozdrawiam
Paweł Kliber

Czy ktoś wie coś o rzeczywistych doświadczeniach, dla których nie istnieje
wartość oczekiwana EX ? Czy rozkłady dla których Całka(x*f(x)) nie istnieje
występują w przyrodzie czy tylko w teorii matematycznej tj. czy możliwe jest
aby uśrednianie wyników wielokrotnie wykonywanego doświadczenia nie dawało
sensownego rezultatu?

Tu nie ma takiego wynikania. Weźmy taką gęstość rozkładu:

a/(x^2 + b^2)

W sensie doświadczalnym ten rozkład ma wartość oczekiwaną równą 0.
Chociaż nie przychodzi mi do głowy dobre doświadczenie, jestem o tym
głęboko przekonany.

Czy ktoś wie coś o rzeczywistych doświadczeniach, dla których nie istnieje
wartość oczekiwana EX ?
[...] czy możliwe jest
aby uśrednianie wyników wielokrotnie wykonywanego doświadczenia nie dawało
sensownego rezultatu?

Zwróć uwagę na dwa fakty: (1) każda możliwa _doświadczalna_
seria danych jest skończona oraz (2) każde możliwe _doświadczenie_
(pomiar) może dać co najwyżej skończony wynik. Z tego wynika, iż
każda możliwa _doświadczalna_ seria danych ma skończoną nie
tylko średnią, ale i wyższe momenty do dowolnego (ale skończonego :-)
rzędu. Och, one mogą wyjść całkiem duże, tym niemniej będą
skończone.

Może się natomiast okazać, że dany proces najlepiej jest
_modelować_ przy użyciu rozkładu o rozbieżnych momentach.
Nie widzę tu żadnej sprzeczności z obserwacjami zawartymi
w poprzednim paragrafie. To zaś, jaki rezultat nazywamy
"sensownym", silnie zalezy od kontekstu ;-)

Jeszcze taka uwaga: Porządny i ulubiony przez wszystkich rozkład
Gaussa (normalny) ma co prawda wszystkie momenty skończone, ale
ma nieskończony nośnik. Gdy więc mierzę ten oto stół linijką,
następnie zaś uśredniam wyniki zakładając iż błędy pomiarowe
podlegają rozkładowi normalnemu, implicite zakładam, iż możliwy
(choć ze znikomo małym prawdopodobieństwem) jest błąd rzędu jednego
roku świetlnego. Nikt się tym jednak nie przejmuje, bo rozkład
Gaussa to tylko idealizacja tego, co w rzeczywistych procesach
można zaobserwować. Z drugiej zaś strony czasami "obcina się
ogony" rozkładom o rozbieżnych momentach, a to po to, aby
uniknąć nieskończoności w rachunkach, motywacja zaś jest
taka, że przecież fizycznie niemożliwe są wartości zbyt duże.
Przykład - w matematyce finansowej/ekonofizyce zmiany indeksów
giełdowych (upraszczam!) opisuje się obciętymi lotami Levy'ego
(truncated Levy flights), jako że zmiana cen o gazylion [:-)]
dolarów jest niemożliwa w sytuacji, w której łączne zasoby
finasowe ludzkości są od gazyliona dolarów mniejsze, tymczasem
rozkład Levy'ego zmianę o gazylion traktuje jako legalną.

Czy rozkłady dla których Całka(x*f(x)) nie istnieje
występują w przyrodzie czy tylko w teorii matematycznej

Technicznie rzecz biorąc _wszelkie_ rozkłady prawdopodobieństwa
występują _tylko_ w teorii matematycznej, nie zaś "w przyrodzie".
"W przyrodzie" wsytępują tylko i wyłącznie skończone serie danych
pomiarowych. Podobnie jednak "w przyrodzie" nie występują
równania różniczkowe i matematycznie idealne okręgi, tym niemniej
obiekty te okazują się być całkiem użytecznymi narzędziami
_modelowania_ procesów rzeczywistych.

[A rozkład Cauchy'ego ma wartość oczekiwaną równą zero tylko
w sensie wartości głównej - ściśle rzecz biorąc całka
(1/\pi) \int_{-\infty}^\infty x/(1+x^2) dx
nie istnieje.]

Paweł "powtarzam, że jestem kantystą" Góra
Institute of Physics, Jagellonian University, Cracow, Poland
A physical entity does not do what it does because it is what it is,
but is what it is because it does what it does.

Tu nie ma takiego wynikania. Weźmy taką gęstość rozkładu:

a/(x^2 + b^2)

W sensie doświadczalnym ten rozkład ma wartość oczekiwaną równą 0.

Obawiam się, że nie ma czegoś takiego jak "wartość oczekiwana w sensie
doświadczalnym". Może miałeś na mysli medianę? modę?

Czy ktoś wie coś o rzeczywistych doświadczeniach, dla których nie istnieje
wartość oczekiwana EX ? Czy rozkłady dla których Całka(x*f(x)) nie
istnieje
występują w przyrodzie czy tylko w teorii matematycznej?

Bierzemy czasy rozpadów promieniotwórczych
kolejnych jąder atomów tego samego izotopu.
Powiedzmy, że czas rozpadu pierwszego rozpatrywanego
przez Ciebie jądra wynosi x_1. Teraz badasz kolejne
jądra, aż do momentu, w którym  natrafisz na
takie jądro, którego czas rozpadu x_N przekroczy x_1.
Zmienna losowa N ma nieskończoną wartość oczekiwaną.
Spróbuj udowodnić!

Korvin

PS. Nie jest ważne, jaką dokładnie postać ma rozkład czasu
rozpadu jąder tego izotopu!

| Tu nie ma takiego wynikania. Weźmy taką gęstość rozkładu:

| a/(x^2 + b^2)

| W sensie doświadczalnym ten rozkład ma wartość oczekiwaną równą 0.

Obawiam się, że nie ma czegoś takiego jak "wartość oczekiwana w sensie
doświadczalnym". Może miałeś na mysli medianę? modę?

Wartość oczekiwana w sensie doświadczalnym to naturalnie (?) średnia
arytmetyczna. Próbowałem interpretować terminy użyte przez autora
pytania.

| Tu nie ma takiego wynikania. Weźmy taką gęstość rozkładu:

| a/(x^2 + b^2)

| W sensie doświadczalnym ten rozkład ma wartość oczekiwaną równą 0.

| Obawiam się, że nie ma czegoś takiego jak "wartość oczekiwana w sensie
| doświadczalnym". Może miałeś na mysli medianę? modę?

Wartość oczekiwana w sensie doświadczalnym to naturalnie (?) średnia
arytmetyczna. Próbowałem interpretować terminy użyte przez autora
pytania.

Jaka średnia arytmetyczna? Z czego?
Sprecyzuj co masz na mysli.

Korvin

| Czy ktoś wie coś o rzeczywistych doświadczeniach, dla których nie istnieje
| wartość oczekiwana EX ?
| [...] czy możliwe jest
| aby uśrednianie wyników wielokrotnie wykonywanego doświadczenia nie dawało
| sensownego rezultatu?

Zwróć uwagę na dwa fakty: (1) każda możliwa _doświadczalna_
seria danych jest skończona oraz (2) każde możliwe _doświadczenie_
(pomiar) może dać co najwyżej skończony wynik. Z tego wynika, iż
każda możliwa _doświadczalna_ seria danych ma skończoną nie
tylko średnią, ale i wyższe momenty do dowolnego (ale skończonego :-)
rzędu. Och, one mogą wyjść całkiem duże, tym niemniej będą
skończone.

Problem polega na tym, że ciąg momentów liczonych z coraz większej
próbki nie musi zbiegać. W ten sposób powinno objawiać się
doświadczalnie nieistnienie momentu.

Może się natomiast okazać, że dany proces najlepiej jest
_modelować_ przy użyciu rozkładu o rozbieżnych momentach.
Nie widzę tu żadnej sprzeczności z obserwacjami zawartymi
w poprzednim paragrafie. To zaś, jaki rezultat nazywamy
"sensownym", silnie zalezy od kontekstu ;-)

Myślę właśnie, że sensowność objawia się zbieżnością.

Jaka średnia arytmetyczna? Z czego?
Sprecyzuj co masz na mysli.

Z wyników doświadczenia.

| Jaka średnia arytmetyczna? Z czego?
| Sprecyzuj co masz na mysli.

Z wyników doświadczenia.

Średnia arytmetyczna ze zmiennych o rozkładzie
Cauchy'ego (tym który podałeś) ma również
rozkład Cauchy'ego, nie zbiegający do liczby 0
w żadnym sensie (przelicz!). Zatem to co

"rozkład ten ma wartość oczekiwaną równą 0"
jest kompletnym nieporozumieniem!

Jeszcze prościej: biorąc średnie z coraz większych
prób NIE BĘDZIESZ otrzymywał liczb bliskich 0.

Korvin

| Jaka średnia arytmetyczna? Z czego?
| Sprecyzuj co masz na mysli.

| Z wyników doświadczenia.

Średnia arytmetyczna ze zmiennych o rozkładzie
Cauchy'ego (tym który podałeś) ma również
rozkład Cauchy'ego, nie zbiegający do liczby 0
w żadnym sensie (przelicz!). Zatem to co

"rozkład ten ma wartość oczekiwaną równą 0"
jest kompletnym nieporozumieniem!

Jeżeli cytujesz, to zadbaj o to, żeby w cudzysłowach znalazło się to,
co mówiłem. Wtedy możemy dyskutować.

Jeszcze prościej: biorąc średnie z coraz większych
prób NIE BĘDZIESZ otrzymywał liczb bliskich 0.

To zależy od doświadczenia. Dokładnie problem opisał Paweł Góra, więc
nie będę pisał jeszcze raz tego samego.

| Średnia arytmetyczna ze zmiennych o rozkładzie
| Cauchy'ego (tym który podałeś) ma również
| rozkład Cauchy'ego, nie zbiegający do liczby 0
| w żadnym sensie (przelicz!). Zatem to co

| "rozkład ten ma wartość oczekiwaną równą 0"
| jest kompletnym nieporozumieniem!

Jeżeli cytujesz, to zadbaj o to, żeby w cudzysłowach znalazło się to,
co mówiłem. Wtedy możemy dyskutować.

Dokładnie u Ciebie było: "W sensie doświadczalnym ten rozkład ma wartość
oczekiwaną równą 0".
to był tylko skrót, nie manipulacja, ale przepraszam.

| Jeszcze prościej: biorąc średnie z coraz większych
| prób NIE BĘDZIESZ otrzymywał liczb bliskich 0.

To zależy od doświadczenia. Dokładnie problem opisał Paweł Góra, więc
nie będę pisał jeszcze raz tego samego.

Taaak, to rzeczywiście zależy od doświadczenia:-) Tak jak
przy rzucaniu kostką. Raz wypada czwórka, raz dwójka
a czasami jeszcze coś innego:-))
Niestety, widzę że trudno nam będzie się porozumieć. Pisząc wcześniej
nieformalnym
językiem myślałem, że podstawy rach. pr. nie są ci obce
i znasz pojęcia zmiennej losowej, rozkładu, zbieżności ciągów
zmiennych losowych itd. Niestety, pomyliłem się bardzo.
Polecam jakiś elementarny podręcznik do r. p. Po
kilku miesiącach będziesz mógł już przeczytać, zrozumieć,
i samodzielnie zrobić rachunki do tego to co poniżej.

*******************************************
Niech X_1, X_2, X_3, ... będzie ciągiem niezależnych zmiennych
losowych o jednakowym rozkładzie Cauchy'ego, tzn. z gęstością

f(x)=a/(x^2 + b^2)

(musi być  a=b/pi aby f(x) całkowało się do jedynki)

Wprowadźmy dobrze znaną średnią arytmetyczną:

A_n= (X_1+X_2+....X_n)/n

Michał Wasiak nazywa to wartością oczekiwaną w sensie doświadczalnym.
Jako funkcja mierzalna zmiennych losowych A_n
jest też oczywiście zmienną losową.
Jeżeli przez f_n(x) oznaczymy gęstość rozkładu prawdopodobieństwa
zmiennej A_n, to elementarne rachunki pokażą, że

f_n(x)=a/(x^2 + b^2).

(dwie linijki roboty, najprościej wykorzystać funkcje charakterystyczne
i twierdzenie o funkcji  charakterystycznej sumy niezależnych zmiennych
losowych).

Otrzymaliśmy ciekawy wynik: ZMIENNA LOSOWA A_n
MA ROZKŁAD CAUCHY'EGO NIE ZALEŻĄCY OD n.
Zatem oczywiście nie zachodzi A_n=0 z prawdopodobieństwem 1
ani nawet przy n-oo A_n nie jest zbieżne do 0 w żadnym sensie
(wg prawdopodobieństwa, z prawdopodobieństwem 1, wg rozkładu).

*******************************************

Nie chce mi się dalej ciągnąć tego wątku.
Dziękuję za dyskusję i pozdrawiam wszystkich,

Korvin

| Średnia arytmetyczna ze zmiennych o rozkładzie
| Cauchy'ego (tym który podałeś) ma również
| rozkład Cauchy'ego, nie zbiegający do liczby 0
| w żadnym sensie (przelicz!). Zatem to co

| "rozkład ten ma wartość oczekiwaną równą 0"
| jest kompletnym nieporozumieniem!

| Jeżeli cytujesz, to zadbaj o to, żeby w cudzysłowach znalazło się to,
| co mówiłem. Wtedy możemy dyskutować.

Dokładnie u Ciebie było: "W sensie doświadczalnym ten rozkład ma wartość
oczekiwaną równą 0".
to był tylko skrót, nie manipulacja, ale przepraszam.

| Jeszcze prościej: biorąc średnie z coraz większych
| prób NIE BĘDZIESZ otrzymywał liczb bliskich 0.

| To zależy od doświadczenia. Dokładnie problem opisał Paweł Góra, więc
| nie będę pisał jeszcze raz tego samego.

Taaak, to rzeczywiście zależy od doświadczenia:-) Tak jak
przy rzucaniu kostką. Raz wypada czwórka, raz dwójka
a czasami jeszcze coś innego:-))
Niestety, widzę że trudno nam będzie się porozumieć. Pisząc wcześniej
nieformalnym
językiem myślałem, że podstawy rach. pr. nie są ci obce
i znasz pojęcia zmiennej losowej, rozkładu, zbieżności ciągów
zmiennych losowych itd. Niestety, pomyliłem się bardzo.

Nie martw się, nie bardzo.

(złośliwości:)

Michał Wasiak nazywa to wartością oczekiwaną w sensie doświadczalnym.

Nie, chłopie. Wartością oczekiwaną w sensie doświadczalnym nazywam
średnią z wyników pomiarów. Pisałem o tym wcześniej, trzeba było czytać,
a nie zgadywać.

Jako funkcja mierzalna zmiennych losowych A_n
jest też oczywiście zmienną losową.
Jeżeli przez f_n(x) oznaczymy gęstość rozkładu prawdopodobieństwa
zmiennej A_n, to elementarne rachunki pokażą, że

f_n(x)=a/(x^2 + b^2).

(dwie linijki roboty, najprościej wykorzystać funkcje charakterystyczne
i twierdzenie o funkcji  charakterystycznej sumy niezależnych zmiennych
losowych).

Otrzymaliśmy ciekawy wynik: ZMIENNA LOSOWA A_n
MA ROZKŁAD CAUCHY'EGO NIE ZALEŻĄCY OD n.
Zatem oczywiście nie zachodzi A_n=0 z prawdopodobieństwem 1
ani nawet przy n-oo A_n nie jest zbieżne do 0 w żadnym sensie
(wg prawdopodobieństwa, z prawdopodobieństwem 1, wg rozkładu).

Nigdy tego nie powiedziałem.

Posłuchaj teraz. Każdy ustrojstwo pomiarowe ma pewien zakres.
Zatem wyniki wykraczające poza ów zakres w najlepszym razie potraktuje
jako krańce zakresu.

Druga sprawa to to, że w rozkłady ciągłe nie dają się realizować
w rzeczywistości.

Słowem, jeżeli chcesz mówić o doświadczeniach, to musisz mocniej
przemyśleć problem.

Problem polega na tym, że ciąg momentów liczonych z coraz większej
próbki nie musi zbiegać. W ten sposób powinno objawiać się
doświadczalnie nieistnienie momentu.
[...]
Myślę właśnie, że sensowność objawia się zbieżnością.

No właśnie. A jeśli mamy do czynienia z pomiarami, w których
ciągi momentów się nie zbiegają - czy to oznacza, że wyniki
są bezsensowne? Żeby nie powtarzać argumentów z rozkładem
Cauchy'ego (to, co Korvin pisze, to postać twierdzenia granicznego
dla tych rozkładów; można to uogólnić na inne rozkłady stabilne),
podam przykład "z życia": otóż badając pewne choroby pasożytnicze
u ludzi (w Afryce, gdzie problem dostępu do czystej wody
jest bardzo poważny) i u bydła stwierdzono, że wariancja rozkładu
ilości pasożytów (parasite burden) u poszczególnych chorych
osobników nie zbiega się wraz ze zwiększaniem rozmiarów próbki.
To nie jest jakiś tam model, to są "twarde" dane eksperymentalne
(epidemiologiczne). Dane takie sugerują, że proces należałoby
modelować przy użyciu rozkładu o zbieżnym pierwszym i rozbieżnych
wyższych momentach. Nie ma w tym nic "bezsensownego", ot, po
prostu tego typu rozkłady tu akurat pasują (można zresztą podać
przypuszczalne wyjaśnienie dlaczego akurat takie pasują, ale to

"sensowności wyników" silnie zależy od kontekstu.

Paweł Góra
Institute of Physics, Jagellonian University, Cracow, Poland
A physical entity does not do what it does because it is what it is,
but is what it is because it does what it does.

| Czy ktoś wie coś o rzeczywistych doświadczeniach, dla których nie istnieje
| wartość oczekiwana EX ? Czy rozkłady dla których Całka(x*f(x)) nie
istnieje
| występują w przyrodzie czy tylko w teorii matematycznej?

Bierzemy czasy rozpadów promieniotwórczych
kolejnych jąder atomów tego samego izotopu.
Powiedzmy, że czas rozpadu pierwszego rozpatrywanego
przez Ciebie jądra wynosi x_1. Teraz badasz kolejne
jądra, aż do momentu, w którym  natrafisz na
takie jądro, którego czas rozpadu x_N przekroczy x_1.
Zmienna losowa N ma nieskończoną wartość oczekiwaną.
Spróbuj udowodnić!

Chyba nie bardzo rozumiem ten przykład. Jaki by ten rozkład (czasu rozpadu
jądra) nie był prowdopodobieństwo, że przekroczy x_N jest konkretne np. p.
Wtedy powtarzamy doświadczenie 0,1-owe z prawdopodobieństwem sukcesu p aż
otrzymamy sukces. To ma chyba rozkład jakiś taki geometryczny ze skończoną
wart. oczekiwaną!

Z góry dziękuję za wyjaśnienie.
pozdrawiam
olej

| Czy ktoś wie coś o rzeczywistych doświadczeniach, dla których nie istnieje
| wartość oczekiwana EX ?

Wartość oczekiwana jest zdefiniowana dla zmiennych losowych (jako ich całka
względem miary probabilistycznej), a nie dla "doświadczeń". Dla
"doświadczeń" możemy obliczyć co najwyżej średnią, a to nie jest to samo.

| Czy rozkłady dla których Całka(x*f(x)) nie istnieje
| występują w przyrodzie czy tylko w teorii matematycznej

Czy widziałeś kiedyś rozkład "występujący w przyrodzie"? W rzeczywistości
nie wiemy jakie rozkłady mają zmienne, możemy tylko zgadywać, na podstawie
danych empirycznych, lub pewnej teorii danego zjawiska.Bardzo często,
zakłada się, że jakieś zjawisko jest wypadkową wielu mniejszych zjawisk
losowych, niezależnych od siebie zjawisk, np. drgania całej maszyny są
wypadkową drgań jej poszczególnych części, wahania cen są wypadkową zachowań
wielu ludz). Wówczas z twierdzeń granicznych wnioskujemy, że zmienna
opisująca zjawisko powinna mieć jeden z rozkładów stabilnych (gdyż tylko
takie rozkłady mogą się pojawić jako sumy bardzo wielu niezależnych
zmiennych). Rozkładem stabilnym jest m.inn. rozkład normalny. Okazuje się,
że jest to jedyny rozkład całkowalny w klasie rozkładów stabilnych.
Czasami empiryczna analiza pokazuje, że zmienna nie może mieć rozkładu
normalnego (na podstawie badania, częstości zdarzeń ekstremalnych). Wówczas
zakłada się, że ma ona inny rozkład stabilny. Tak jest np. w analizie stóp
zwrotu papierów wartościowych (ponoć także w analizie turbulencji cieczy).

| aby uśrednianie wyników wielokrotnie wykonywanego doświadczenia nie dawało
| sensownego rezultatu?

Tutaj mówisz o wartości średniej, a nie o wartości oczekiwanej. Wartość
oczekiwana jest pojęciem teoretycznym. Istotnie, jeżeli masz kilka
obserwacji pewnej zmiennej to zawsze możesz policzyć średnią. Gdyby zmienna
była całkowalna, to stosując prawo wielkich liczb, mógłbyś wywnioskować, że
wartość średnia przybliża wartość oczekiwaną. Ale prawo wielkich liczb nie
obejmuje zmiennych niecałkowalnych. Średnia z próby nie przybliża w tym
wypadku wartości oczekiwanej (bo ta nie istnieje). Może przybliżać jakiś
inny parametr rozkładu - dominantę, medianę ...

Pozdrawiam
Paweł Kliber

Chyba rzeczywiście nie do końca przemyślałem swoje pytanie, ale DZIĘKI za
wyjaśnienia.

pozdrawiam
olej

| Bierzemy czasy rozpadów promieniotwórczych
| kolejnych jąder atomów tego samego izotopu.
| Powiedzmy, że czas rozpadu pierwszego rozpatrywanego
| przez Ciebie jądra wynosi x_1. Teraz badasz kolejne
| jądra, aż do momentu, w którym natrafisz na
| takie jądro, którego czas rozpadu x_N przekroczy x_1.
| Zmienna losowa N ma nieskończoną wartość oczekiwaną.
| Spróbuj udowodnić!

Chyba nie bardzo rozumiem ten przykład. Jaki by ten rozkład (czasu rozpadu
jądra) nie był prowdopodobieństwo, że przekroczy x_N     /*chyba chodziło

Ci o x_1?*/   jest konkretne np. p.

Niestety p nie jest konkretne, ponieważ x_1 też jest zmienną losową, a nie
stałą.

Pozdrawiam serdecznie
Korvin