Witam
Proszę o poradę, jaka metoda numeryczna jest najprostsza do zaimplementowania w
programie komputerowym do obliczenia całki oznaczonej z dowolnej funkcji y=f(x)
w określonym przedziale x1 do x2. Superprecyzja nie jest konieczna. Jakby ktoś
był miły i podpowiedział równiez zestaw słów kluczowych w języku angielskim do
szukania w Googlach ?.

pozdrawiam
Andrzej Kmicic

Proszę o poradę, jaka metoda numeryczna jest najprostsza do
zaimplementowania w
programie komputerowym do obliczenia całki oznaczonej z dowolnej funkcji
y=f(x)
w określonym przedziale x1 do x2. Superprecyzja nie jest konieczna. Jakby
ktoś
był miły i podpowiedział równiez zestaw słów kluczowych w języku
angielskim do
szukania w Googlach ?.

pozdrawiam
Andrzej Kmicic

Proszę o poradę, jaka metoda numeryczna jest najprostsza do
zaimplementowania w
programie komputerowym do obliczenia całki oznaczonej z dowolnej funkcji
y=f(x)
w określonym przedziale x1 do x2. Superprecyzja nie jest konieczna. Jakby
ktoś
był miły i podpowiedział równiez zestaw słów kluczowych w języku
angielskim do
szukania w Googlach ?.

pozdrawiam
Andrzej Kmicic

Pozdrawiam,
Teres

Proszę o poradę, jaka metoda numeryczna jest najprostsza do zaimplementowania w
programie komputerowym do obliczenia całki oznaczonej z dowolnej funkcji y=f(x)
w określonym przedziale x1 do x2.

| Proszę o poradę, jaka metoda numeryczna jest najprostsza do zaimplementowania
w
| programie komputerowym do obliczenia całki oznaczonej z dowolnej funkcji
y=f(x)
| w określonym przedziale x1 do x2.
Najprostsza? Metoda trapezów, a ścislej złożona metoda trapezów. Ale
uwaga: chcesz, żeby to działało dla dowolnej funkcji. No to nie będzie.
Bardzo łatwo podać przykłady funkcji (elementarnych, nie żadnych tam
dziwadeł), dla których metoda trapezów albo się nędznie wyłoży, albo
będzie potwornie kosztowna. Takie przykłady mozna podac dla każdej
metody - po prostu nie ma metod uniwersalnych.

Pawle czy możesz podać kilka przykładów typowych dla których metoda trapezów się
nie sprawdzi ?

Andrzej Kmicic

Pawle czy możesz podać kilka przykładów typowych dla których metoda trapezów się
nie sprawdzi ?

\int_{-\infty}^\infty H_n(x) H_m(x) exp(-x^2) dx

gdzie H_n jest wielomianem Hermite'a. Weź n~5 lub więcej, n=m+1. Analitycznie
ta całka znika. Liczymy jednak numerycznie. Eksponenta zabija
wielomian, więc całkę po ogonach szacujesz analitycznie. Zostaje całka po
pewnym przedziale skończonym, dość sporym. I teraz: albo w metodzie trapezów
bierzesz duży krok, ale wtedy bardzo źle szacujesz oscylacje, albo bierzesz
mały krok, ale wtedy musisz wykonać bardzo wiele obliczeń w obszarze, w którym
funkcja zmienia się bardzo wolno. (Rozwiązaniem są kwadratury adaptacyjne.)

Przykład innego rodzaju: Metoda trapezów jest prosta, ale bywają metody
znacznie szybsze, choć oparte o metodę trapezów. Powiedzmy, chcemy
obliczyć całkę

\int_1^2 sin(10x)/(1+x^2) dx

z dokładnością 10^{-6}. IIRC, metoda trapezów wymaga kilku tysięcy obliczeń
funkcji podcałkowej, metoda Simpsona niewiele mniej, natomiast metoda Romberga
(takie "ulepszenie" ekstrapolacji Richardsona, startujące z metody trapezów!)
wymaga tych obliczeń zaledwie kilkudziesięciu.

No ale pytałeś o metodę najprostszą do zakodowania :-)

Pozdrawiam
M.

\int_1^2 sin(10x)/(1+x^2) dx

z dokładnością 10^{-6}. IIRC, metoda trapezów wymaga kilku tysięcy obliczeń
funkcji podcałkowej, metoda Simpsona niewiele mniej, natomiast metoda Romberga
(takie "ulepszenie" ekstrapolacji Richardsona, startujące z metody trapezów!)
wymaga tych obliczeń zaledwie kilkudziesięciu.

No ale pytałeś o metodę najprostszą do zakodowania :-)

--

pozdrowienia
Andrzej Kmicic

Najprostsze sa kwadratury prostokatow. Banalne do zaimplementowania.
Dzielimy obszar na n kawalkow, wyliczamy wartosc na srodku przedzialu
(najlepiej, ale moze to byc takze wartosc na ktoryms z krancow). Sumujemy
te
wartosci i mnozymy przez dlugosc przedzialu calkowania podzielano przez n.
Jesli nie jest Ci potrzebny super dokladny wynik, to to co tutaj uzyskasz
jest
wystarczajace.

| \int_1^2 sin(10x)/(1+x^2) dx

| z dokładnością 10^{-6}. IIRC, metoda trapezów wymaga kilku tysięcy obliczeń
| funkcji podcałkowej, metoda Simpsona niewiele mniej, natomiast metoda Romberga
| (takie "ulepszenie" ekstrapolacji Richardsona, startujące z metody trapezów!)
| wymaga tych obliczeń zaledwie kilkudziesięciu.

| No ale pytałeś o metodę najprostszą do zakodowania :-)

| --

Panie Pawle jeżeli koszt obliczeń jest bardzo mały kosztem skomplikowania
to może być metoda najlepsza więc proszę o kilka słów kluczowych pod którymi
mam szukać metody w googlach.

pozdrowienia
Andrzej Kmicic

function y = kwadratura_prostokatow(n)
% y - wartosc 'kwadrarury' przyblizajacej calke oznaczona
%     z funkcji f(), na przedziale [0,L]
% n - gestosc podzialu
% L - dlugosc przedzialu calkowania
% h - krok
% punkt - argument funkcji

h = L/n
suma = 0;

for i=1:n
    punkt = ((i-1)+0.5)*h;    
    suma  = suma + f(punkt)
endfor

y = suma*h;

endfunction

Nie sprawdzalem, ale raczej dziala.
Pozdrawiam
Mariusz

To nie koniecznie Pan Pawel, ale jesli chodzi o implementacje 'kwadratur
prostokatow' to wyglada ona nastepujaco.

function y = kwadratura_prostokatow(n)
% y - wartosc 'kwadrarury' przyblizajacej calke oznaczona
%     z funkcji f(), na przedziale [0,L]
% n - gestosc podzialu
% L - dlugosc przedzialu calkowania
% h - krok
% punkt - argument funkcji

h = L/n
suma = 0;

for i=1:n
    punkt = ((i-1)+0.5)*h;
    suma  = suma + f(punkt)
endfor

y = suma*h;

endfunction

a teraz w kontekście odpowiedzi Włodzimierza :

Można poprawić dokładność tej metody.
Robi się obliczenia dla trzech różnych wartości kroku całkowania .
Następnie tworzy się zależność całki od  kroku całkowania.
Teraz metodą ekstrapolacji wyznaczamy wartość
dla zerowego kroku całkowania.
Pozdrawiam WM

pozdrowienia
ale macie ze mną utrapienie zupełnie jak z malcem pytającym "aaa cioto" :).
Andrzej Kmicic

Panie Pawle jeżeli koszt obliczeń jest bardzo mały kosztem skomplikowania
to może być metoda najlepsza więc proszę o kilka słów kluczowych pod którymi
mam szukać metody w googlach.

Jeśli funkcja jest stosunkowo wolnozmienna, można próbować Romberga.
Trzeba w guglu wpisać "Romberg quadrature" i pojawią się tysiące linków.
Coś - daleko nie wszystko - jest na przykład tutaj:
http://zfs.if.uj.edu.pl/metnum/notatki/calki.pdf

Jeśli funkcja jest oscylująca, trzeba próbować kwadratur adaptacyjnych.
Znów, gugiel, "adaptive quadrature" i viola.

Gotowe kody na jedno i na drugie są na przykład w Netlibie,
http://www.netlib.org

a teraz w kontekście odpowiedzi Włodzimierza :
| Można poprawić dokładność tej metody.
| Robi się obliczenia dla trzech różnych wartości kroku całkowania .
| Następnie tworzy się zależność całki od  kroku całkowania.
| Teraz metodą ekstrapolacji wyznaczamy wartość
| dla zerowego kroku całkowania.
Rozumiem że wykonuję 3 razy dla różnych n1,n2 i n3 powyższą funkcję y =
kwadratura_prostokątów(n)
i otrzymuję 3 sumy dla n1-s1, dla n2-s2 i dla n3-s3 i jak to

Obliczasz wspólczynniki a,b,c równania kwadratowego z ukladu 3-ch równań:

S1=a*h1^2+b*h1+c
S2=a*h2^2+b*h2+c
S3=a*h3^2+b*h3+c

Gdzie oczywiscie hi=L/ni

Dla h=0 masz wynik ekstrapolacji: S0=c

Najlepiej aby h1=2*h2=2*h3 wtedy mozna wykorzystać sumy częsciowe.

Pozdrawiam WM

Obliczasz wspólczynniki a,b,c równania kwadratowego z ukladu 3-ch równań:

S1=a*h1^2+b*h1+c
S2=a*h2^2+b*h2+c
S3=a*h3^2+b*h3+c

Gdzie oczywiscie hi=L/ni

Dla h=0 masz wynik ekstrapolacji: S0=c

Najlepiej aby h1=2*h2=2*h3 wtedy mozna wykorzystać sumy częsciowe.

pozdr

Andrzej Kmicic